Aturan Yang Digunakan Dalam Penarikan Kesimpulan

Penarikan suatu kesimpulan atau argumen dimulai dari ditentukannya himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang saling berelasi, dari beberapa pernyataan yang telah diketahui kebenarannya yang disebut dengan premis. Dengan melalului langkah-langkah yang logis maka dapat diturunkan suatau pernyataan yang benar yang disebut dengan kesimpulan atau konsklusi. Kumpulan salah satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan suatu konklusi yang diturunkan dari premis-premisnya disebut dengan argumen. Argumen adalah merupakan pernyataan, maka ia mempunyai nilai benar atau salah.

Pengertian argumen yang valid

Sebelum kita membahas lebih lanjut, sebaiknya kita mengetahui terlebih dahulu bagaimanakah suatu argumen itu dikatakan valid/sah.

Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika dubuktikan bahwa argumen itu merupakan suatu tautologi atau semua premis-premisnya benar. Artinya sebarang pernyataan yang disubtitusikan kedalam hipotesa, jika seluruh hipotesa itu benar maka kesimpulannya adalah benar.

Jika semua argumen dan semua hipotesanya bernilai benar maka kebenaran nilai konklusi dikatakan sebagai diinferensikan atau diturunkan dari kebenaran hipotesa.

Adapun langkah-langkah dalam mengecek apabila suatu argumen merupakan kalimat yang valid antara lain adalah dengan cara sebagai berikut.
1. Dengan menentukanterlebih dahulu hipotesa dan kesimpulan kalimat.
2. Buatlah tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan.
3. Kemudian carilah baris kritis. Baris kritis yakni baris dimana semua hipotesanya bernilai benar.
4. Didalam beris kritis tersebut, apabila semua nilai kesimpulan bernar maka argumen tersebut valid atau sah.

Bentuk penarikan kesimpulan disajikan sebagai berikut.
Premis (1)        P1
Premis (2)        P2
Premis (3)        P3
.....................
Premis (n)        Pn
∴ Konklusi    ∴ K

Penarikan kesimpulan dikatakan sah jika (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... Pn) ➝ K merupakan tautologi. Sedangkan apa yang dimaksud dengan tautologi, anda dapat membacanya disini.
Sebagai contoh, anda dapat menyelidiki penarikat berikut apakah valid/sah.
Jika ia siswa SMP maka ia rajin membaca.

Ia siswa SMP
∴Ia rajin membaca
Penarikan kesimpulan di atas dapat kita sajikan dengan pola sebagai berikut.
p ➝ q (premis 1)
p          (premis 2)
∴ q    (konklusi)

selanjutnya kita buat tabel
[(p ➝ q) ∧ p] ➝ q

p	q	p ➝ q	(p ➝ q) ∧ p	[(p ➝ q) ∧ p] ➝ q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	S	S	B
S	S	B	S	B

Jika kita perhatikan tabel di atas menunjukkan bahwa [(p ➝ q) ∧ p] ➝ q selalu bernilai benar (autologi), sehingga penarikan kesimpulan di atas dikatakan sah.

Modus ponens

Modus ponens adalah argumen yang bentuknya dapat dinyatakan sebagai berikut.

Premis (1)      p ➝ q (suatu pernyataan yang benar) dan
Premis (2)      p          (suatu pernyataan yang benar) dan
konklusi        ∴ q     (suatu pernyataan yang benar)
Dengan menggunakan tabel kebenaran, argumen ini dikaji sebagai berikut.

p	q	p ➝ q	(p ➝ q) ∧	p [(p ➝ q) ∧ p] ➝ q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Suatu argumen adalah dikatakan sah, apabila setiap baris dari premis-premisnya bernilai benar maka pada baris itu konklusinya juga benar. Dari tabel kebenaran di atas dapat kita lihat bahwa p ➝ q dan p bernilai benar pada bari I, baris tersebut ternyata konklusinya juga benar. Jadi modus ponens merupakan argumentasi yang sah.
Contoh:
Jika suatu bilangan habis dibagi2 maka bilangan itu bilangan genap.
26 habis dibagi 2
∴ 26 adalah bilangan genap.

Modus Tallens

Modus tallens adalah argumen yang bentuknya dapat kita nysatakan debagai berikut.
Premis (1)   p ➝ q (benar)
Premis (2)   ~ q       (benar)
Konklusi     ~ p       (benar)

Bentuk dari modus tallens ini hampir sama/ mirip dengan modus ponens, tetapi hipotesa kedua dan kesimpulan merupakan kontrapositif hipotesa pertama modus ponens. Hal ini dikarenakan mengingat kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivaen logis dengan kontrapositifnya.
Argumen ini dapat dikaji dengan menggunakan tabel kebenaran sebagai berikut.

p	q	p ➝ q	~ q	[(p ➝ q) ∧ ~ q]	[(p ➝ q) ∧ ~ q] ➝ ~ p
B	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	B
S	B	B	S	B	B
S	S	B	S	B	B

Bentuk Pernyataan Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

Pada posting kali ini kita akan menjelaskan bentuk dari Pernyataan Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi, namun sebelumnya sebaiknya anda juga membaca posting sebelumnya tantang Cara Menentukan Pernyataan dan Bukan Pernyataan yang dapat anda baca disini.
Untuk memahami Bentuk Pernyataan Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi mari bersama kita pelajari penjelasan berikut ini.

1. Tautologi.

Tautologi adalah suatu bentuk kalimat atau rumus yang selalu bernilai benar, tanpa mempedulikan bagaimanapun hasil nilai kebenaran masing-masing kalimat penysunnya atau pernyataannya, kalimat ini disimbolkan dengan (B).

Contohnya:
q ➝ (pvq), dalam tabel kebenaran dapat dinyatakan sebagai berikut.

p	q	p v q	q ➝ (pvq)
B	B	B	B
B	S	B	B
S	B	B	B
S	S	S	B

Karena semua baris pada kolom q ➝ (pvq) bernilai B, maka q ➝ (pvq) merupakan tautologi. Kesatuan dari dua buah kalimat yang ekuivalen p dan q yang dihubungkan dengan penghubung  ↔ selalu merupakan tautologi, karena jika p ↔ q maka p dan q selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama, jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama maka p ↔ q selalu akan bernilai benar.

2. Kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu kalimat yang selalu bernilai salah, tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya yang disimbolkan dengan (S).

Contoh: p∧~p, pada tabel kebenaran dapat dinyatakan sebagai berikut.

p	~p	p∧~p
B	S	S
S	B	S

Contoh tersebut di atas merupakan kontradiksi, dimana pada kolom terakhir selalu diperoleh nilai salah.

3. Kontingensi

Kontingensi adalh rumus yang nilai kebenarannya boleh benar (B) atau salah (S), yang kita kenal sebagai rumus bercampur.

Contoh:
((p∧q) ➝ r) ➝ p, maka pada tabel kebenaran dapat dinyatakan sebagai berikut.

p	q	r	p∧q	(p∧q) ➝r	((p∧q) ➝ r) ➝ p
B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	B
B	S	B	S	B	B
B	S	S	S	B	B
S	B	B	S	B	S
S	B	S	S	B	S
S	S	B	S	B	S
S	S	S	S	B	S

Jikakita perhatikan tabel kebenaran di atas, karena pada kolm terakhir terdapat nilai benar dan salah maka diperoleh kontingensi atau rumus bercampur.

Matematika itu indah dan menyenangkan. Semoga bermanfaat.

Cara Menentukan Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Pada materi terdahulu kita telah pernah membahas mengenai Logika Matematika, Pernyataan, Ingkaran, Negasi dan Konjungsi, anda dapat membacanya disini. Kali ini kita akan membahas secara khusu bagaimanakah cara untuk menentukan suatau kalimat itu merubakan bentuk pernyataan dan bukan pernyataan. untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan penjelasan di bawah ini.

Pengertian pernyataan

Secara sederhana pernyataan adalah kalimat yang mempunyai tepat satu dari dua kemungkinan nilai kebenaran, yaitu benar dan salah. Karena pernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai logika (kebenaran) benar atau salah, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah maka sebetulnya pernyataan itu adalah merupakan sebuah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya, yakni benar atau salah.

Lebih lanjut, nilai kebenaran suatu pernyataan tergantung pada kebenaran dan ketidakbenaran realitas yang dinyatakannya. Apabila kebenaran itu benar-benar berdasarkan pada realitas, maka kebenaran itu disebut juga sebagai kebenaran faktual. Sedangkan benar ataupun salahnya sautu pernyataan disebut sebagai nilai kebenaran pernyataan itu.

Melambangkan pernyataan dalam logika.

Pernyataan adalah kalimat yang bersifat deklaratif, proposisi atau statemen. Lalu bagaimanakah melambangkan suatu pernyataan dalam logika?. Suatu pernyataan umumnya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, s. Pernyataan yang benar diberi nilai kebenaran B (benar, atau true dalam bahasa inggris) dan pernyataan yang salah diberi nilai kebenaran S (salah, atau false).

Nah, dari uraian di atas tentunya kita sudah mendapatkan kejelasan bahwa:

Setiap pernyataan merupakan kalimat, akan tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Kalimat yang digolongkan pernyataan adalah kalimat-kalimat yang menerangkan sesuatu, dan kalimat seperti itulah yang dapat disebut sebagai kalimat deklaratif.

Sebagai contoh, agar lebih mudah dalam membedakan pernyataan dan bukan pernyataan, mari kita perhatikan beberapa kalimat berikut ini dengan cermat.
1. Matahari terbit dari timur
2. Manusia mempunya dua tangan
3. Jumlah pemain bulu tangkis 11 orang
4. Tutuplah pintu itu!
5. Di mana sekolahmu?
6. Guruku sangat ramah.

Jika kita cermati, tiga kalimat pertama di atas disebut pernyataan karena kalimat-kalimat tersebut merupakan sesuatu (kalimat deklaratif) dan kebenaran/kesalahan dari kalimat-kalimat tersebut mutlak.

Kalimat ke emapat dan kelima bukan merupakan pernyataan, karena kalimat-kalimat tersebut tidak menrangkan sesuatu.

Sedangkan kalimat terakhir juga bukan merupakan bentuk pernyataan,meskipun kalimat tersebut termasuk kalimat deklaratif akan tetapi nilai benar/salah nya masih bersifat relatif.

Matematika itu indah dan menyenangkan!

Rangkuman: Pengertian Bilangan Bulat Serta Operasinya

Pada posting sebelumnya kita telah membahas mengenai Operasi Himpunan Uner dan Biner, anda dapat membacanya disini. Untuk kali ini kita akan membahas tentang Pengertian Bilangan Bulat serta Operasinya yang kami sajikan dalam bentuk rangkuman sehingga kami berharap kita akan lebih mudah dalam memahaminya.

Bilangan Bulat.

1. Pengertian bilangan bulat.

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan nol. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan B, dimana B = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}.

2. Operasi pada bilangan bulat.

Penjumlahan bilangan bulat
Pada sembarang bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat penjumlahan, yaitu:

No	Sifat	Bentuk
1	Komutatif	p + q = q + p
2	Asosiatif	(p + q) + r = p + (q + r)
3	Tertutup	(p + q) ∈ bilangan bulat
4	Unsur identitas	p + 0 = 0 + p = p

Pengurangan bilangan bulat.
Pada sembarang bilangan bulat p dan q berlaku sifat-sifat pengurangan, yaitu:

No	Sifat	Bentuk
1	Mengurangkan dengan suatu bilangan sama artinya menambahkan dengan lawan pengurangannya.	p - q = p + (-q) (-q) adalah lawan dari q
2	Tertutup	(p - q) ∈ bilangan bulat

Perkalian bilangan bulat
Sifat-sifat perkalian bilangan bulat berlaku jika p, q,  dan  r  merupakan bilangan bulat, adalah sebagai berikut:

No	Sifat	Bentuk
1	Komutatif	p x q = q x p
2	Asosiatif	(p x q) + r = p x (q x r)
3	Tertutup	(p x q) ∈ bilangan bulat
4	Unsur identitas	p x 1 = 1 x p = p
5	Perkalian dengan 0	p x 0 = 0 x p = 0
6	Distributif	p x (q + r) = (p  x q) + (p  x r) p x (q - r) = (p  x q) - (p  x r)

Pembagian
Sifat-sifat pembagian yang berlaku jika p, q dan r  merupakan bilangan bulat adalah sebagai berikut:

Sifat	Bentuk
Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian	p : q = r  ⇔  r  x q = p

3. Bilangan bulat berpangkat bulat

Pengertian bilanagn bulat berpangkat bulat.
Pangkat  n dari suatu bilangan bulat dengan n adalah bilangan bulat didefinisikan sebagai perkalian bilangan tersebut sebanyak n kali.
Misalnya a dan b adalah bilangan bulat, maka an = a x a x a x a x ...x a (sebanyak n kali) 
Contoh: 24 = 2 x 2 x 2 x 2
Sifat bilanganberpangkat bilangan bulat.
Misalkan a  merupakan bilangan bulat, m  dan n  adalah bilangan bulat positif maka berlaku sifat:
1. an x am  =  am + n
Contoh: 32 x 33 = 3 x 3 x (3 x 3 x 3) = 35 = 32 + 3
2. an : am  =  am - n
Contoh: 25 : 23 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 / 2 x 2 x 2 = 22 = 35 - 2
3. (an )m  =  am x n
Contoh: (52)3 = 52 x 52 x 52 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 56 = 52 x 3
Mudah-mudahan bermanfa'at. Metamatika itu indah dan menyenangkan.

Operasi Himpunan Uner dan Biner

Masih pada materi Himpunan Matematika, kali ini kita bersama akan mempelajari Operasi Himpunan Dan Sifat-Sifatnya, dengan sub materi tentang operasi uner dan biner. Operasi adalah suatu relasi atau bisa disebut dengan suatu hubungan yenga berkenaan dengan satu unsur atau lebih, sehingga menghasilkan unsur lain yang tunggal atau unik. Maka dengan demikian operasi dalam matematika dapat dipandang sebagai suatu pemetaan atau fungsi, dengan beberapa syarat.
Memuat unsur yang dioperasikan sebagai anggota daerah asal atau domain.
Mengahsilkan unsur yang unik sebagai daerah hasil atau range.
Agar lebih jelas, silahkan perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. Operasi tambah (+) sebgai pemetaan pada bilangan real.
+ : (2,4)     +→ 6
+ : (-2,2)    +→ 0
Operasi tambah diatas disebut sebagai pemetaan dan ditulis sebagai berikut.
2 + 4 = 6
(-2) + 2 = 0
Operasi ini disebut dengan operasi biner, dikarenakan operasi tersebut dikenakan terhadap dua unsur.
2. Operasi akar kuadrat (√) sebgai pemetaan pada bilangan real yang tidak bernilai negatif.
√ : 25 →  5
√ : 36 →  6
√ : 0   →  0
Pemetaan diatas ditulis sebagai berikut.
√25 = 5
√36 = 6
√0   = 0
Operasi pada contoh nomor 2 diatas merupakan operasi yang dikenakan terhadap satu unsur, disebut dengan operasi uner atau monar.

Maka demikian operasi himpunan dapat digolongkan kedalam dua kelompok operasi, yaitu operasi uner atau monar dan operasi biner. Kedua jenis operasi ini akan kita jelaskan satu-persatu.

Operasi Uner atau Monar

Contoh operasi uner atau monar misalnya pada operasi negasi, atau biasa yang kita sebut dengan operasi penyangkalan (ingkaran). Operasi negasi ini merupkan suatu operasi yang hany berkenaan dengan satu unsur saja yang dalam hal ini yang sebagai unsrnya adalah pernyataan. Nilai kebenaran dari suatu operasi negasi adalah sebuah pernyataan. Pernyataan sendiri merupakan kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh pernyatannya. Dengan demikian jika sebuah pernyataan memiliki nilai kebenaran B (benar), maka nilai kebenaran dari negasinya adalah S (salah), demikian pula sebaliknya.
Misalnya:
Operasi uner atau monar yang didefinisikan pada himpunan adalah operasi komplemen. Operasi komplemen dinotasikan dengan memerlukan tanda aksen ( ' ) pada himpunan yang dioperasikan tersebut, yang didefinisikan sebagai berikut.
A' = {x | x ∉ A, x ∈ S}
Himpunan S diatas dimaksudkan sebegai himpunan semesta dari himpunan A. Untuk mementukan A', kita harus mengetahui anggota dari himpunan A dan anggota dari S sebagai semestanya.
Contoh:
S = {1, 2, 3, 4, 5}. A = {2, 4, 5}  adalah himpunan bagian dari S. Seluruh anggota dalam S yang bukan anggota dari himpunan A membentuk himpunan bagian, yaitu {1, 3}. Himpunan bagian {1, 3} merupakan komplemen dari himpunan A terhadap semesta S, komplemen ini dapat ditulis dengan lambang A' (dibaca: A aksen).
Silahkan perhatikan diagram Venn di bawah ini agar lebih jelas.

Operasi Biner

Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua unsur. Operasi biner pada himpuna yang terdifinisi ada lima macam, yaitu: operasi irisan, operasi gabungan, operasi penjumlahan, operasi pengurangan, dan operasi perkalian. Untuk bagaimana cara mengoperasikan operasi biner ini, kita akan mebahanya secara mendalam pada posting berikutnya.