Operasi Himpunan Uner dan Biner

Masih pada materi Himpunan Matematika, kali ini kita bersama akan mempelajari Operasi Himpunan Dan Sifat-Sifatnya, dengan sub materi tentang operasi uner dan biner. Operasi adalah suatu relasi atau bisa disebut dengan suatu hubungan yenga berkenaan dengan satu unsur atau lebih, sehingga menghasilkan unsur lain yang tunggal atau unik. Maka dengan demikian operasi dalam matematika dapat dipandang sebagai suatu pemetaan atau fungsi, dengan beberapa syarat.
Memuat unsur yang dioperasikan sebagai anggota daerah asal atau domain.
Mengahsilkan unsur yang unik sebagai daerah hasil atau range.
Agar lebih jelas, silahkan perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. Operasi tambah (+) sebgai pemetaan pada bilangan real.
+ : (2,4)     +→ 6
+ : (-2,2)    +→ 0
Operasi tambah diatas disebut sebagai pemetaan dan ditulis sebagai berikut.
2 + 4 = 6
(-2) + 2 = 0
Operasi ini disebut dengan operasi biner, dikarenakan operasi tersebut dikenakan terhadap dua unsur.
2. Operasi akar kuadrat (√) sebgai pemetaan pada bilangan real yang tidak bernilai negatif.
√ : 25 →  5
√ : 36 →  6
√ : 0   →  0
Pemetaan diatas ditulis sebagai berikut.
√25 = 5
√36 = 6
√0   = 0
Operasi pada contoh nomor 2 diatas merupakan operasi yang dikenakan terhadap satu unsur, disebut dengan operasi uner atau monar.

Maka demikian operasi himpunan dapat digolongkan kedalam dua kelompok operasi, yaitu operasi uner atau monar dan operasi biner. Kedua jenis operasi ini akan kita jelaskan satu-persatu.

Operasi Uner atau Monar

Contoh operasi uner atau monar misalnya pada operasi negasi, atau biasa yang kita sebut dengan operasi penyangkalan (ingkaran). Operasi negasi ini merupkan suatu operasi yang hany berkenaan dengan satu unsur saja yang dalam hal ini yang sebagai unsrnya adalah pernyataan. Nilai kebenaran dari suatu operasi negasi adalah sebuah pernyataan. Pernyataan sendiri merupakan kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh pernyatannya. Dengan demikian jika sebuah pernyataan memiliki nilai kebenaran B (benar), maka nilai kebenaran dari negasinya adalah S (salah), demikian pula sebaliknya.
Misalnya:
Operasi uner atau monar yang didefinisikan pada himpunan adalah operasi komplemen. Operasi komplemen dinotasikan dengan memerlukan tanda aksen ( ' ) pada himpunan yang dioperasikan tersebut, yang didefinisikan sebagai berikut.
A' = {x | x ∉ A, x ∈ S}
Himpunan S diatas dimaksudkan sebegai himpunan semesta dari himpunan A. Untuk mementukan A', kita harus mengetahui anggota dari himpunan A dan anggota dari S sebagai semestanya.
Contoh:
S = {1, 2, 3, 4, 5}. A = {2, 4, 5}  adalah himpunan bagian dari S. Seluruh anggota dalam S yang bukan anggota dari himpunan A membentuk himpunan bagian, yaitu {1, 3}. Himpunan bagian {1, 3} merupakan komplemen dari himpunan A terhadap semesta S, komplemen ini dapat ditulis dengan lambang A' (dibaca: A aksen).
Silahkan perhatikan diagram Venn di bawah ini agar lebih jelas.

Operasi Biner

Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua unsur. Operasi biner pada himpuna yang terdifinisi ada lima macam, yaitu: operasi irisan, operasi gabungan, operasi penjumlahan, operasi pengurangan, dan operasi perkalian. Untuk bagaimana cara mengoperasikan operasi biner ini, kita akan mebahanya secara mendalam pada posting berikutnya.

Matematika, Diantara Dunia Nyata dan Dunia Ghaib

Keberadaan matematika diantara dunia nyata dan dunia ghaib, benarkah?

Matematika dikatakan berada di dunia tak nyata dikarenakan objek matematika itu bersifat abstrak, sehingga objek matematika itu bukanlah suatu "penampakan". Namun demikian sifat abstraksi dari ilmu matematiki itu dapat kita wujudkan kedalam dunia nyata dalam bentuk yang dinamakan dengan istilah "aplikasi". Karenanya matematika itu merupakan abtraksi dunia nyata, dimana objek matematika itu bersifat abtrak dan disajikan menggunakan bahasa simbol.

Diantara syahadah dan ghaibiyah, maka dengan demikian ia bersifat "ditengah-tengah", maksudnya diantara dunia nyata dan gaib, abstrak dan non abstrak. Diperlukan suatu pendekatan yang rasionalis, logis (bayani dan burhani), dan empiris untuk memahami objek nyata dari matematika. Sedangkan pendekatan yang bersifat imajinatif, metafisis (irfani), dan ituitif, diperlukan untuk memahami matematika dalam bentuk objek yang nyata. Letak kekuatan utama dari matematika terletak pada intuisi maupun imajinasi yang selanjutnya diterima setelah dilakukan pembuktian secara logis atau deduktif. Maka dari itu dalam mempelajari matematika perlu dilakukannya penggabungan dari ketiganya, yaitu, bayani, burhani, dan irfani. Paradigma berpikir seperti ini merupakan paradigma yang bisa disebut sebagai paradigma ulul albab.

Dalam perspektif islam, ilmuan sendiri merupakan sosok yang dengan cara bersamaan mengembangkan potensi dari dzikir dan fikir guna menghasilkan suatu amalan sholih yang didalam Al Qur'an yang disebut dengan Ulul Albab. Potensi tersebut memiliki peranan yang sangat penting didalam menghadapi objek yang bersifat suprarasional, serta mampu untuk mempertajam kemampuan berpikir intuitif, spriritual, dan emosional. Potensi fikir memililiki peran untuk menghadapi objek rasional, sedangkan dzikir mampu mewakili aktifitas dalam aspek ghaibiyah, dan fikir sendiri mampu mewakili aspek aktivitas syahadah. Paradigma yang disebut dengan Ulul Albab ini bisa digunakan pada pembelajaran matematika. Intelektualitas saja tak mampu untuk mempelajari matematika, melainkan perlunya dukungan yang secara bersamaan dengan kemampuan spiritual dan emosional. Dalam matematika, pola pikir logis dan deduktif begitu tergantung pada kemampuan intuitif dan kemampuan imajinatif.


Dalam Pembelajaran matematika bahwa perlunay dilakuakn dalam konteks yang menyenangkan dengan melaluli aktivitas yang dinamakan dengan bermain (learning by doing), sebagaimana yang dikemukakan teori-teori barat pada kenyataanya terkadang berakibat siswa hanya mengingat bermainnya saja, sehingga tidak efisien. Teori-teori tersebut mengakui bahwa emosi begitu memiliki pengaruh yang cukup pesar dalam pembelajaran matematika, artinya emosi sangat dipengaruhi oleh spiritual. Inilah perihal yang tidak dipahami oleh orang-orang barat. Proses berpikir intelektual bagaimanakah mungkin bisa maksimal apabila emosinal atau perasaan sedang tak stabil? Perasaan itu apakah bisa dibohingi dengan kegiatan bermain yang menyenangkan? Bisakah berkonsentrasi dalam belajar jika menjadi beban pikiran?


Kemampuan untk berpikir dengan jernih (intelektual) atau kemampuan untuk berkonsentrasi begitu dipengaruhi oleh emosional (perassan). Dan emosinal sendiri dipengaruhi olah pemahaman mengenai keagamaan (spiritual). Jika hati merasa tenang dan lapang, maka pikiran pun akan memiliki kemampuan untuk beraktivitas (belajar) secara maksimal pula. Dengan berdzkikir, maka ketenangan hati sesuai dengan tuntunan Al Qur'an maka akan tercapai. Ini sejalan dengan firman Allah SWT yang terdapat dalam Al Qur'an surat Ar Ra'd ayat 28. Tawakkal, sabar, qana'ah, dan ridha Allah SWT merupakan modal utama untuk mencapai kententeraman serta ketenangan hati. Kecerdasan spiritual dapat diwujudkan dengan konsisten atau istiqamah, keihklasan atau sicerity, totality atau kaffah, tawazun atau balance, dan ihsan atau integrity and comprehensive, maka kesemuanya itu akan mengarah pada perilaku yang berakhlakul karimah.

Bagaimanakah Hubungan Antar Himpunan Itu?

Hubungan Antar Himpunan

Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari mengenai himpunan dan cara menyatakannya, anda dapat membacanaya disini. Pada bagian ini kita akan mempelajari hubungan antarhimpunan.
Agar lebih jelas kita bisa memperhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Diketahui
A = {burung, bebek, ayam} dan
B = {kelinci, kucing, musang}.
Jika kita perhatikan kedua anggota himpunan di atas, yakni  anggota himpunan A dan anggota himpunan B, dan demikian pula sebaliknya maka tidak ada satupun anggota A yang menjadi anggota himpunan B, anggota himpunan B juta tidak ada satupun yang menjadi anggota himpunan A. Maka dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan B seperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing.

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.

Selanjutnya, kita perhatikan kedua himpunan berikut ini.
P = {1, 2, 3, 4, 5}
Q = {2, 3, 5, 7, 11}
Jika kita perhatikan anggota himpunan P dan anggota himpunan Q di atas, bahwa terdapat anggota himpunan P yang juga menjadi anggota himpunan Q, yaitu {2, 3, 5}. Maka dalam hal ini dikatakan bahwa {2, 3, 5} adalah anggota persekutuan dari himpunan P dan Q. Kita perhatikan juga bahwa terdapat anggota himpunan P yang tidakmenjadi anggota himpunan Q, demikian pula sebaliknya. Keadaan dua himpunan seperti ini disebut himpunan tidak saling lepas atau berpotongan.

Dua himpunan X dan Y dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika X dan Y mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota X yang bukan anggota Y dan ada anggota Y yang bukan anggota X.

Sekarang, kita perhatikan himpunan R = {s, i, k, a} dan himpunan S = {a, s, i, k}.
Ternyata, setiap anggota R termuat dalam S, demikian juga sebaliknya. Dalam hal ini, himpunan A dan B disebut dua himpunan sama, ditulis R = S.
Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
Jika banyaknya anggota himpunan P = banyaknya anggotahimpunan Q, atau n(P) = n(Q) maka P dan Q dikatakan ekuivalen.
Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).

Untuk menambah pemahaman kita, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.
Tulislah anggota dari masing-masing himpunan berikut. Kemudian tentukan hubungan antar himpunan tersebut.
P = {x | x < 7, x ∈ A}
Q = {bilangan prima kurang dari 10}
R = {empat huruf pertama dalam abjad}
S = {x | 1 ∈ x ∈ 6, x ∈ C}

Penyelesaian:
Untuk mememcahkan permasalahan matematika di atas dapatk kita lakukan dengan mendaftar masing-masing anggotanya, sehingg diperoleh sebagai berikut.
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Q = {2, 3, 5, 7}
R = {a, b, c, d}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

- Kita perhatikan himpunan P dan Q. Anggota persekutuan dari himpunan P dan Q adalah{2, 3, 5}. Namun demikian masih terdapat anggota himpunan P yang tidak menjadi anggota himpunan Q, yaitu
{1, 4, 6}. Sama juga halnya, terdapat anggota himpunan Q yang tidak menjadi anggota himpunan P, yaitu {7}. Dengan demikian, himpunan P dan Q dikatakan tidak saling lepas (berpotongan).

- Perhatikan himpunan Q dan R. Karena tidak ada anggota persekutuan antara himpunan
Q dan R, maka dikatakan himpunan Q dan R saling lepas atau saling asing. Namun, perhatikan
bahwa Q = {2, 3, 5, 7}, n(Q) = 4 dan R = {a, b, c, d}, n(R) = 4. Dengan demikian, dikatakan bahwa himpunan Q dan R ekuivalen, karena n(Q) = n(R).

- Selanjutnya, kita perhatikan himpunan P dan S. Kedua himpunan tersebut memiliki anggota yang tepat sama. Jadi dengan demikian, himpunan P dan S dikatakan dua himpunan sama.

Pengertian Logika Matematika, Logika Tradisional dan Simbolik

Perkembangan pengetahuan tentang ilmu logika mengalami perjalanan perkembangan yang cukup panjang. Sejarah mencatat, Aristoteles adalah seorang ahli filsafat yang pertama kali mengembangkan logika pada era yunani kuno, sekitar tahun 400 Sebelum Masehi. Pada era itu perkembangan logika dikenal oleh masyarakat dengan istilah yang disebut dengan "Logika Tradisional". Dipertengahan abad ke- 18, hadirlah seorang ahli matematika yang bernama G. W. Leibniz (1946 - 1716), yang ia selanjutnya menjadi seorang matematikawan yang mempelajari ilmu Logika Simbolik. Kemudian pada pertengahan abad  ke- 19 Goerge Boole (1815 - 1716), sukses menulis sebuah buku yang berjudul "Laws of Thought". Buku tersebut berisi tentang cara pengembangan logika simbolik sebagai sistem matematika abstrak. Selain itu, matematikawan lainnya yang juga berjasa dalam pengembangan logika simbolik diantaranya adalah Leonhart Euler (1707 - 1783), kemudian John Venn (1834 1923), dan Bertrand Russell (1872 - 1970).

Apakah yang dimaksud dengan Logika Tradisonal dan Logika Simbolik Itu?

Kedua konsep logika tersebut dapat kita definisikan dengan sederhana. Logika tradisonal adalah logika yang dipelajari hanya sebagai bagian dari metode filsafat. Sedangkan Logika Simbolik merupakan logika yang dipelajari untuk membangun  keterampilan penalaran ilmiah. Sebagaimana yang sudah kita maklum bahwa ilmu pengetahuan empirik bertolak dari data empirik. Nah, dalam menganalisis data empirik maka diperlukan logika induktif. Dengan penalaran 'induktif', maka ilmu pengetahuan berusaha menemukan sifat-sifat dan hukum-hukum alam empirik. Hukum dan sifat-sifat tersebut berguna untuk memahami keadaan yang real atau nyata. Penerapan itu dilakukan melalui pemikiran deduktif. Pada ujungnya ilmu pengetahuan empirik berusaha merumuskan hasiknya secara kuantitatif. Proses penalaran hingga merumuskan hasil diperlukan logika yang sesuai, yaitu dengan apa yang disebut Logika Simbolik.

Dalam percakapan kita sehari-hari, kata logika artinya "menurut akal". Secara istilah logika berarti suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Sedangkan ketepatan penelaran itu sendiri adalah kemapuan untuk menarik suatu kesimpulan atau konklusi yang tepat dari  bukti-bukti yang ada atau tersedia.

Apabila pengertian logika kita kaitkan dengan matematika, maka secara singkat dapat didefinisikan yaitu tata cara berpikir atau pola pikir metamatika. Pembahasan yang masuk kedalam pembahasan logika matematika, sebagai berikut.

1. Kalimat
Yang terdiri dari Kalimat matematika yang benar, kalimat matematika yang salah, kalimat terbuka, kalimat deklaratif/ pernyataan, kemudian negasi atau juga disebut dengan ingkaran atau penyangkalan, Pernyataan majemuk; Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplkiasi, dan yang terakhir adalah Kalimat berkuantor.

2. Berpikir Deduktif
Logika matematika dalam pembahasa berpikir deduktif menggunakan tika prisnsip, diantaranya adalah Menggunakan prinsip modus ponens, Menggunakan prinsip modus tollens, dan Menggunakan prinsip silogisme.

3. Bukti dalam matematika, dan
4. Penarikan kesimpulan.

Semoga bermanfaat, matematika itu indah dan menyenangkan!

Pengertian Dan Contoh Himpunan Sama, Himpunan Ekuivalen, dan Himpunan Bagian

Humpunan terdiri dari berbagai macam jenis, dan cara menyatakannya pun bisa dengan beberapa cara. Materi kalini sebenarnya merupakan lanjutan dari materi kita sebelumnya tentang Himpunan Kosong, himpunan Semesta, Himpunan Hingga, dan himpunan Tak Hingga, anda dapat membacanya disini. Untuk kali ini kita kan fokus membahas mengenai macam-macam himpunan, diantaranya Himpunan Sama, Himpunan Ekuivalen, dan himpunan Bagian. Berikut ini penjelasan macam dari beberapa himounan yang dimaksud.

1. Himpunan Sama

Disebut sama, jika himpunan A dan B jika keduanya mempunyai anggota yang persis sama, tanpa melihat urutannya. Artinya himpunan A dan B dikatakan sama apabila setiap anggota A termasuk anggota B, dan demikian pula sebaliknya. Kesamaan himpunan A dengan himpunan B dapat kita tuliskan dengan lambang A = B.
Contoh:

• A = {1, 2, 3} dan B = {3, 2, 1}. Maka A = B, dikarenakan setiap anggota himpunan A juga terdapat dalam anggota himpunan B, demikian sebaliknya anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A.
• A = {i, n ,d, a, h} dan B = {a, n, d, h, i}. Maka A = B, karena setiap anggota himpunan A ada pada himpunan B, dan setiap anggota himpunan B ada pada himpunan A.
• E = {gajah, badak, jerapah, singa} dan F = {singa, jerapah, badak, gajah}. Maka E = F, karena setiap anggota himpunan E juga merupakan anggota himpunan F, sebaliknya anggota himpunan F ada pada himpunan E.
• A = {a, i, u, o,e} dan B = {1, 2, 3, 4}. Maka A ≠ B. Karena anggota himpunan A bukan merupakan anggota himpunan B, dan sebaliknya anggota himpunan B tidak ada pada himpunan A.
• P = {alat transportasi darat}, dan Q = {hewan berkaki empat}. Himpunan P tak sama dengan himpunan Q, dikarenakan anggota himpunan P tidak merupakan anggota himpunan Q, dan sebaliknya, anggota himpunan Q tidak merupakan anggota himpunan P.

2. Himpunan Ekuivalen

Dua buah himpunan atau lebih disebut  lainsatu sama lain, apabila banyaknya anggota himpunan-himpunan tersebut sama. Artinya dua himpunan atau lebih disebut ekuivalen apabila antara setiap anggota himpunan yang satu memiliki hubungan satu-satu dengan setiap anggota himpunan lainnya. Dinyatakan himpunan Q yang ekuivalen dengan himpunan R dalam notasi Q ~ R. Maka dapat disimpulkan bahwa Q ~ R, bila n(Q) = n(R) atau banyaknya nggota himpunan Q sama dengan banyaknya nggota himpunan R. Untuk lebih jelas silahkan memperhatikan contoh di bawah ini.
Contoh 1:
Q =  {nama hari dalam seminggu yang diawali dengan huruf S}
R = {senin, selasa, sabtu}
Q = {a, b, c} n(Q) = 3, maka
Q ~ B, karena n(Q) = n(P).

Contoh 2:
P = {1, 2, 3, 4}, n(P) = 4
Q = {v, w, x, y}, n(Q) = 4
Maka, P ~ Q, akrena n(P) = n(Q)

3. Himpunan Bagian

Himpunan A disebut bagian dari himpunan B, maka ditulis dengan A ⊂ B, apabila setiap anggota A termasuk anggota B. Dapat pula ditulis B ⊃ A, dibaca "B sumber dari A", "B mengandung A", atau "B super himpunan A".

Pada bagian ini setiap himpuna juga selalu mempunya himpunan kosong dan himpunan yang sama persis dengan himpunan itu sendiri sebagai himpunan bagiannya, ini diakibatkan dari pengertian himpunan bagian itu sendiri.
Banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A dapat diperoleh dengan menggunkan rumus 2^n(A)
Contoh:

• Jika P = { 1 }, maka himpuna  bagian dari P adalah {   }, dan { 1 }. Banyaknya himpunan bagian dari adalah 2. Dengan diperoleh rumus 2^n(P) = 2¹ = 2
• Jika Q = {a , b}, maka himpunan bagian dari himpunan Q adalah {   }, { a }, { b }, {a, b}.
• Jika R = {piring, gelas, sendok}, maka himpuna bagian dari R adalah {   }, {piring}, {gelas}, {sendok}, {piring, gelas}, {piring, sendok}, {gelas, sendok}, {piring, gelas, sendok}. Banyaknya himpunan bagian adalah 8. Dengan diperoleh rumus 2^n(C) = 2³ = 8.

Contoh Soal dan Pembahasan Aritmetika Sosial

Aritmetika sosial, merupakan salah satu cabang dalam matemtaika yang sangat berkaitan erat dengan kehidupan kita sehari-hari. Lebih jelasnya anda bisa mempelajari materi tentang aritmetika sosial disini.

Di bawah ini merupakan beberapa contoh soal tentang Aritmetika sosial beserta penyelesainnya yang juga dilengkapi dengan cara cepat.


1. Dina membeli 12 baju dengan harga Rp.336.000,000. Jika Santi akan membeli 18 baju yang sama dengan baju yang dibeli oleh Dina, maka Santi harus membayar sebesar ....
A. Rp.468.000,00
B. Rp.492.000,00
C. Rp.504.000,00
D. Rp.528.000,00

Penyelesaian:
Dina membeli 12 baju seharga Rp.336.000,00, maka harga satu bajau adalah Rp.336.000,00 / 12 = Rp.28.000,00.
Santi membeli 18 baju, maka Santi harus membayar
18 x Rp.28.000,00 = Rp.504.000,00
Cara cepat:
Uang yang harus dibayar Santi adalah 18/12 x Rp.336.000,00 = Rp.504.000,00

Jawaban: C

2. Seorang penjual telur memperoleh untung Rp.5.500,00. Jika keuntungan itu 10% dari harga pembelian, maka harga penjualan adalah ....
A. Rp.40.500,00
B. Rp.50.000,00
C. Rp.55.000,00
D. Rp.60.500,00

Penyelesaian:
10% dari harga pembelian = Rp.5.500,00
Jika harga pembeliannya = P, maka
10%  x P = 5.500 atau 10/100 x P = 5.500
            P = 5.500 x 100/10
               = 55.000
Harga pembelian = Rp.55.000,00
Harga Penjualan
                          = Harga pembelian + Untung
                          = Rp.55.000,00 + Rp.5.500,00
                          = Rp.60.500,00
Cara cepat:
Harga penjualan
                          = Harga pembelian + Untung
                          = 100% + 10%
                          = 110%
Harga penjualan:
110/10 x 5.500 = 60.500
Jadi, harga penjualannya Rp.60.500,00

Jawaban: D

3. Seorang pembuat kue memperoleh pesanan sebanyak 500 kue untuk pesta. Biaya pembuatan kue rata-rata Rp.350,00 per buah. Sebanyak 400 kue tersebut dijual dengan harga Rp.450,00 perbuah dan sisanya dijual dengan harga Rp.42.500,00. Keuntungan dari penjualan kue tersebut adalah ....
A. 17,24%
B. 20,16%
C. 27,14%
D. 32,42%

Penyelesaian:
Untung = Harga penualan - modal
Modal = Rp.350,00 x 500 = Rp.175.000,00
Harga penjualan
= (Rp.450,00 x 400) + Rp.42.500,00
= Rp.222.500,00
Untung
= Harga penualan - Modal
= Rp.222.500,00 - Rp.175.000,00
= Rp.47.500,00
% untung = 47.500/175.00 x 100% = 27,14%

Jawaban: C

4. Pak Mirza membeli sebuah televisi 21 inci dengan harga Rp.1.500.000,00. Karena Pak Mirza membutuhkan uang untuk biaya pendidikan anaknya, maka pak Mirza menjual kembali televisi tersebut dengan harga Rp.1.200.000,00. Persentase rugi yang dialami oleh pak Mirza adalah ....
A. 10%
B. 30%
C. 20%
D. 40%

Penyelesaian:
Harga penjualan = harga pembelian - rugi
Rugi = harga pembelian - harga penjualan
= Rp1.500.00,00 - Rp1.200.000,00
= Rp300.000,00
% rugi = 300.000/1.500.000 x 100% = 20%

Jawaban: C

5. Harga sepasang sepatu Rp60.000,00. jika harga tersebut turun 2,5%, maka harganya menjadi ....
A. Rp1500.000,00
B. Rp45.000,00
C. Rp58.250,00
D. Rp58.500,00

Penyelesaian:
Diskon = 2,5%  25/100 x 60.00 = 1.500
Diskon atau penurunan harganya sebesar Rp1.500,00
Sehingga
Harga sepatu
= Rp60.000,00 - Rp1.500,00
= Rp58.500,00

Jawaban: D

6. Sika membeli baju dengan mendapat diskon 15% sehingga hanya membayar Rp170.000,00. harga baju sebelum didiskon adalah ....
A. Rp200.000,00
B. Rp185.000,00
C. Rp195.500,00
D. Rp144.500,00

Penyelesaian:
Harga baju sebelum didiskon
= harga baju sesudah didiskon + besar diskon yang diberikan
Besar diskon yang diberikan
= 15 / 100 - 15 x Rp170.000,00
= 15/85 x Rp.170.000,00
= Rp30.000,00
Harga baju sebelum didiskon adalah
Rp170.000,00 + Rp30.000,00 = Rp200.000,00
Cara cepat:
Harga baju sesudah diskon
= Harga baju seblum diskon - besar diskon
= 100% - 15%
= 85% (= Rp170.000,00)
Harga baju sebelum diskon
= 100/85 x Rp170.000,00
= Rp200.000,00

Jawaban: A

7. Sebuah toko membeli 200 karung bears, yang masing-masing pada karungnya terteras tulisan: Bruto 114 kg, tara 2 kg,. Neto beras yang dibeli pemilik toko adalah ....
A. 200 kuintal
B. 116 kuintal
C. 114 kuintal
D. 224 kuintal

Penyelesaian:
Bruto 1 karung beras = 114 kg
Tara 1 karung beras = 2 kg
Neto 1 karung beras = 114 kg - 2 kg
= 112 kg.
Neto 200 karung beras adalah:
200 x 112 kg = 22.400 kg
= 224 kuintal

8. Seorang pedagang membeli 2 karung beras masing-masing beratnya 1 kuintal dengan tara 2¹/₂%. Harga pembelian setiap karung beras Rp200.000,00. Jika beras itu dijual dengan nharga Rp2.400,00 per kg, maka besar keuntungan adalah ....
A. Rp34.000,00
B. Rp56.000,00
C. Rp68.000,00
D. Rp80.000,00

Penyelesaian:
Neto dari 1 karung beras = bruto -tara
                                        = 100 kg - 25/100 x 100 kg
                                        = 100 kg - 2,5 kg = 97,5 kg
Berarti:
Neto dari 2 karung beras = 2 x 97,5 kg =195 kg
Harga pembelian 2 karung beras
= 2 x Rp2.000.000,00
= Rp400.000,00

Harga penjualan 1 kg beras adalah Rp2.400,00 maka penjualan 2 karung beras adalah:
195 kg x Rp2.400,00 = Rp468.000,00
Besar keuntungan
= harga penjualan - harga pembelian
= Rp468.000,00 - Rp400.000,00
= Rp68.000,00

Jawaban: C

9. Ali menabung di suatu Bank sebesar Rp200.000,00 dengan bunga 15% setahun. Besar tabungan setelah 8 bulan adalah ....
A. Rp210.000,00
B. Rp220.000,00
C. Rp230.000,00
D. Rp240.000,00

Penyelesaian:
Besar tabungan setelah 8 bulan adalah
Rp200.000,00 + (8/12 x 15/100 x Rp200.000,00)
= Rp200.000,00 + Rp20.000,00
= Rp220.000,00

Jawaban: B

10. Mirza meminjam uang di bank sebesar Rp5.100.000,00 untuk pembelian sepeda motor. Angsuran tiap bulan yang harus dibayarkan Rp165.000,00 dalam jangka waktu 4 tahun. Besar persentase bunga dari uang pinjaman adalah ....
A. 50,3%
B. 50,9%
C. 55,3%
D. 55,9%

Penyelesaian:
Jumlah pinjaman = Rp5.100.000,00
Jumlah angsuran = 4 x 12 x Rp165.000,00
                            = Rp7.920.000,00
Besarnya bunga dari uang pinjaman
= Rp7.920.000,00 - Rp5.100.000,00
= Rp2.820.000,00
% bunga = 2.820.000/5.100.000 x 100%
               = 55,3%

Jawaban: C

Pengertian Dan Contoh Himpunan Kosong, Semesta, Hingga dan Tak hingga

Pada posting sebelumnya kita telah membahas tentang bagaimana cara menyatakan himpunan, anda bisa membacanya disini. untuk kali ini kita akan membahas tentang Himpunan Kosong, Himpunan Semesta atau Universum, Himpunan Hingga dan Himpunan Tak Hingga. Berikut penjelasannya.

1. Himpunan Kosong

Apa yang dimaksud dengan himpunan kosong itu?. Ya, sesuai dengan namanya, himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki / mempunyai anggota. Himpunan ini dilambangkan atau dinotasikan dengan menggunakan tanda Φ atau {   }. 

Yang perlu kita perhatikan adalah antara himpunan kosong dengan himpunan yang tidak tepat (bukan himpunan) Sering kali yang bukan himpunan dianggap sebagai himpunan kosong. Maka dari itu kita harus benar-benar memperhatikan syarat-syarat keanggotaannya. Apabila anggotanya benar-benar tidak ada, maka itulah yang dinamakan dengan Himpunan Kosong. Sebaliknya, jika anggotanya tidak jelas, dalam artian tidak dapat dibedakan apakah suatu objek termasuk anggotanya atau tidak, dengan demikian kumpulan tersebut bukanlah merupakan himpunan. Agar lebih jelas, mari bersama-sama kita perhatikan contoh di bawah ini.

• Himpunan A adalah himpunan siswa kelas 9 yang berusia 11 tahun.
• Himpunan B adalah himpunan bilangan asli yang lebih dari 1.
• Himpunan C adalah himpunan nama bulan yang berawal "K".
• Himpunan D adalah himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

Harus berhati-hati dengan angka nol ( 0 ), sebab nol ( 0 ) bukanlah merupakan himpunan kosong, akan tetapi merupakan anggota dari himpunan yang bernilai nol ( 0 ). Seperti pada himpunan 5 bilangan cacah pertama, maka bilangan nol adalah salah satu anggota himpunan bilangan tersebut.

2. Himpunan Semesta (Universum)

Yang dinamakan himpunan semesta adalah himpunan yang memuat seluruh benda atau semua objek yang sedang dibicarakan, atau himpunan yang menjadi objek pembicaraan. 

Himpunan semesta juga sering disebut dengan semesta pembicaraan atau set universum. Himpunan semsta dilambangkan dengan S atau U.
Contoh:

• Himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf S. Maka himpunan semestanya dalah nama-nama hari.
• Misalkan A = {2, 3, 5, 7}. Himpunan semsta yang mungkin untuk himpunan tersebut adalah S = {bilangan prima}. Himpunan bilangan prima bukanlah satu-satunya himpunan semesta bagi A akan tetapi masih banyak himpunan lain yang dapat dianggap sebagai himpunan semestanya. Misalnya, himpunan balingan asli, himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan bulat, dan sebagainya.
• Misalkan B = {merah, putih}. Maka himpuna  semesta yang mungkin diantaranya adalah S = {wara bendera Indonesia}, dan sebagainya.

3. Himpunan Hingga

Himpunan Hingga atau juga biasa yang kita sebut dengan finite set, merupakan himpunan yang jumlah anggotanya terhingga. Terhingga artinya dapat dihitung.

Contoh:

• A = {x | x bilangan asli < 10}. Himpunan A tersebut juga kita tulis kedalam bentuk tabulasi maka, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Banyaknya anggota terhingga dari himpunan A dapat kita hitung, yakni sembilan.
• B adalah warna-warna pelangi. Ini juga termasuk kedalm himpunan terhingga, karena jumlah anggotanya juga dapat kita hitung, yakni sebanyak 7 yaitu warna merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu.

4. Himpunan Tak Hingga

Himpunan tak hingga atau juga disebut infiniter set merupakan himpunan yang jumlah anggotanya tak terhingga. Singkatnya, anggota himpunan ini memiliki anggota yang banyak, sehingga kita tak mungkin menulisnya secara terperinci. 

Jika kita menyatakannya kedalam bentuk tabulasi maka dengan menggunakan tanda tiga buah titik "...", dibaca "seterusnya". Maksud dari tanda tiga titik tersebut adalah untuk menyatakan bahwa terdapat beberapa anggota yang tidak mungkin kita tuliskan.
Contoh:

• Misalkan B = {x | x bilangan asli > 10}, maka B dapat kita tulis dengan B {11, 12, 13, ...}. Diabaca himpunan B adalah 11, 12, 13, dan seterusnya. 

Itulah pengertian dan beberapa contoh dari himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan hingga, dan himpunan tak hingga. Semoga mudah untuk dipahami dan yang terpentinga adalah bermanfaat. Matematika itu indah dan menyenangkan!.